3  Processos Pontuais

Aqui modelamos a intensidade (densidade de pontos) em função de covariáveis ambientais.

Pacote: spatstat. Referências: Illian et al. (2008) e Diggle (2013).

3.0.1 Cálculos passo a passo (Processos Pontuais)

• Modelo Poisson Inhomogêneo (log-linear): \[\log \lambda(s) = \beta_0 + \sum_{k}\beta_k x_k(s).\] O ajuste por máxima verossimilhança discretiza a janela ou usa aproximações de Poisson pontual; ppm() resolve o problema maximizando a verossimilhança baseada na função de intensidade.

• LGCP (Cox Log-Gaussiano): \[\lambda(s) = \exp\{X(s)\beta + S(s)\},\] onde \(S(s)\) é um Campo Gaussiano com variograma especificado. A inferência estima \(\beta\) e os parâmetros do campo (variância e escala) via métodos aproximados (ex.: Laplace, Palm likelihood, ou métodos de mínimos quadrados dependendo do method). Em R usamos kppm(..., clusters = "LGCP").

• Passos práticos em R:

  1. Visualizar pontos e covariáveis: plot(bei.extra) + plot(bei, add=TRUE).
  2. Ajustar ppm() para efeitos fixos; verificar resíduos (P-P plot) para falta de ajuste.
  3. Ajustar kppm(..., clusters = "LGCP"); inspecionar Trend coefficients (betas) e Cluster parameters (sigma2, escala).

library(spatstat)

# Carregando dados de árvores (bei) e covariáveis (bei.extra: elevação e gradiente)
data(bei) 

# Visualizando
plot(bei.extra$grad, main = "Covariável: Gradiente do Terreno")
plot(bei, add = TRUE, pch = ".", cols = "white")

# Abordagem 1: Poisson Inhomogêneo (Illian et al., 2008)
# A intensidade lambda depende deterministícamente do Gradiente
# log(lambda) = beta0 + beta1 * gradiente
modelo_poisson <- ppm(bei ~ grad, data = bei.extra)

# Abordagem 2: LGCP com Covariável (Diggle, 2013)
# A intensidade depende do Gradiente + um Cluster Estocástico (Campo Gaussiano)
# Isso captura a agregação que a covariável não explicou.
modelo_cox <- kppm(bei ~ grad, data = bei.extra, clusters = "LGCP")

# Comparação
print(modelo_poisson) # Coeficientes da covariável
print(modelo_cox)     # Coeficientes + Parâmetros do cluster espacial